Правомерны ли требования отработать часы больничного?

Здравствуйте, Алина

Не совсем поняла, какие отгулы и за что Вам дают, но по поводу больничного скажу однозначно - отрабатывать время отсутствия по болезни Вы не должны.

Просто в месяце, где Вы болели, зарплата Вам начисляется в меньшем размере, без учета дней болезни, который оплачивается, когда Вы его предоставите в организацию. Норма рабочего времени соответствующего месяца уменьшается на количество дней, приходящихся на период болезни,  отпуск,   и т. п.
Согласно ст. 91 ТК РФ рабочее время- время, в течение которого работник в соответствии с правилами внутреннего трудового распорядка и условиями трудового договора должен исполнять трудовые обязанности, а также иные периоды времени, которые в соответствии с настоящим Кодексом, другими федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации относятся к рабочему времени. Время болезни к рабочему времени не относится.  

Об этом  написано и в Письме Министерства здравоохранения и социального развития РФ от 13 октября 2011 г. N 22-2/377333-782

Часы отсутствия работника с суммированным учетом рабочего времени на рабочем месте в учетном периоде в случаях, предусмотренных законодательством (отпуск, временная нетрудоспособность и т. д.), не должны им в дальнейшем отрабатываться.
Следовательно, норма рабочего времени в этих случаях должна уменьшаться на
количество часов, пропущенных работником по графику его работы.

Несмотря на то, что здесь речь идет о суммированном учете рабочего времени, это применимо  и ко всем остальным работникам, работающих по другим графикам.