На что мне можно претендоать если сожительствовали?

Здравствуйте, Юлия

Граждане, брак которых не был официально зарегистрирован согласно действующему законодательству, могут приобрести общее имущество только в долевую собственность, приобретение в совместную собственность, как у супругов не предполагается, хоть сто лет вместе проживут.
Т. е. если какое- то имущество оформлено только на одного из сожителей, то с юридической точки зрения только он является собственником. Иное можно доказать, только предоставив суду письменные и иные доказательства, подтверждающие, что сожители имели намерение приобрести имущество в общую собственность, что оба вносили средства на приобретение и т. п.
Если отцовство установлено в отношении детей - вы имеете полное право подать на алименты.
Либо можете заключить с отцом детей нотариальное алиментное соглашение, по которому, например, в зачет алиментов за какой- то период (несколько месяцев, лет) передать вам в собственность автомобиль.
Если отец детей официальных доходов не имеет, можно требовать в суде определить алименты в твердой денежной сумме. При подаче исполнительного листа приставу просить наложить арест на регистрационные действия по автомобилю (это еще лучше и в суде сделать, чтобы отец не избавился от ТС до вынесения решения), чтобы было потом на что обратить взыскание.