Анастасия
В изложенных Вами обстоятельствах, на ваш вопрос, с учетом Ваших уточнений, можно ответить следующее:
1. Действующим законодательством Российской Федерации не регламентируется ни предоставление от родителей разрешения, ни оформление доверенности на ребенка. Ребенок не имущество, а человек, личность со своими правами, свободами и законными интересами.
Но подобное разрешение плюс доверенность (если есть разрешение, то наличие доверенности не считаю обязательным) надо составлять на случай каких - либо проблем в отношении ребенка (болезнь, травма, нахождение в сопровождении взрослого в комендантский час для несовершеннолетних (особенности регионального законодательства некоторых субъектов Российской Федерации).
2. Если Вы решили оформить помимо разрешения и доверенность, то она также составляется в свободной форме. И не требует обязательного нотариального удостоверения. Но Вы вправе удостоверить у нотариуса как разрешение, так и доверенность.
3. По поводу поведения и действий сотрудника ГИБДД здесь два момента: 1) общался ли сотрудник ГИБДД в зоне видимости видеорегистратора (это очень важно - имеются определенные инструкции, насколько подобное может быть известным); 2) если имеется видеорегистратор и он с функцией записывания звуков, то при наличии подобных доказательств (но подойдет и диктофон на телефоне, либо обычный диктофон (хотя навряд ли такой был)) неподобающего поведения сотрудника ГИБДД можно предпринять следующие действия:
а) жалоба на сотрудника ГИБДД вышестоящему начальству и в прокуратуру, естественно с приложением копий записи;
б) взыскание с сотрудника ГИБДД компенсации морального вреда, причиненного чести и достоинству личности (как ребенка, так и сопровождавших его взрослых);
в) обращение в УСБ МВД России с заявлением о проведении в отношении сотрудника ГИБДД проверки на предмет наличия в его действиях признаков ст. 125 УК РФ "Оставление в опасности" ввиду малолетства высаженного из автомобиля ребенка, учитывая то обстоятельство, что малолетние дети не могут ещё принять достаточных мер к самосохранению, тем более в незнакомо для них месте. Малолетними считаются дети, не достигшие возраста 14 лет.
Можем оказать Вам необходимую правовую помощь в целях привлечения такого сотрудника ГИБДД к установленной законом ответственности.