Может ли сотрудник продолжать работать, если в должностных инструкциях он пишет "ознакомлен" и "не согласен"?

Здравствуйте, Светлана

В том случае, если данный работник не желает исполнять должностную инструкцию, тем самым он совершает нарушение трудовой дисциплины, которая, в частности, обязывает работника исполнять требования должностной инструкции в полном объёме.

Вам следует в установленном порядке произвести служебное расследование дисциплинарного проступка и затем привлечь данного работника к дисциплинарной ответственности, согласно ст. 192 ТК РФ.

Так как подобное нарушение трудовой дисциплины является грубым, Вы вправе уволить данного сотрудника "по статье".