Должна ли я теперь платить этот налог?

Здравствуйте, Ксения

Налоговым агентом вообще- то является работодатель, который должен перечислять за Вас 13% НДФЛ в налоговую инспекцию. Сам работник никаких отчислений не делает за себя.

Но все налоги и страховые взносы отчисляются работодателем в рамках трудовых отношений, то есть при официально заключенном трудовом договоре в соответствии со  ст. 67 ТК РФ, согласно которой трудовой договор заключается в письменной форме, составляется в двух экземплярах, каждый из которых подписывается сторонами. Один экземпляр трудового договора передается работнику, другой хранится у работодателя. Получение работником экземпляра трудового договора должно подтверждаться подписью работника на экземпляре трудового договора, хранящемся у работодателя.

При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе.

Согласно 392 ТК РФ работодатель имеет право обратиться в суд по спорам о возмещении работником ущерба, причиненного работодателю, в течение одного года со дня обнаружения причиненного ущерба.

Если работодатель считает, что Вы нанесли ему ущерб, предложите ему обратиться в суд, либо вообще проигнорируйте это требование, так как оно не законно.